问题标题:
已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,且a^2=2b(1)求椭圆的方程(2)是否存在实数M,使得直线l:x-y+m=0与椭圆交于A、B两点且线段AB中点在圆x^2+y^2=5上,求m的值
问题描述:

已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,且a^2=2b

(1)求椭圆的方程

(2)是否存在实数M,使得直线l:x-y+m=0与椭圆交于A、B两点且线段AB中点在圆x^2+y^2=5上,求m的值

更新时间:2024-03-29 08:43:03
黄卓君回答:
  1、   e=√2/2,则:a²=2c²,b²=c²   则:a²=2b²   又已知a²=2b,所以:2b²=2b   得:b=1,则:a²=2   所以,椭圆方程为:y²/2+x²=1   2、   设AB中点为M(x,y),由点差法的结论:K(AB)*K(OM)=-a²/b²=-2   而K(AB)=1,所以:K(OM)=-2,即:y/x=-2   则:y=-2x,   y=-2x   x²+y²=5   联列方程组,得:5x²=5   x1=-1,y1=2;x2=1,y2=-2   所以,M1(-1,2),M2(1,-2)   (1)把M1(-1,2)代入直线x-y+m=0,得:m=3,此时直线方程为:x-y+3=0;   x-y+3=0,y²/2+x²=1   联列方程组,消去x,得:3y²/2-6y+8=0   3y²-12y+16=0   △
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